在信号处理、控制理论、通信和许多其他工程与科学领域，为了更方便地分析和处理信号与系统，我们常常需要将信号从其自然存在的时域转换到另一个数学上更易于操作的域——频域或复频域。傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是实现这种转换的最核心、最强大的数学工具。
傅里叶变换的核心思想是：任何（行为良好的）信号都可以表示为无穷多个不同频率的正弦和余弦波的叠加。傅里叶变换就是找出这些频率分量的幅度和相位。
许多物理、工程和经济学中的动态系统都可以用常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 来描述。一个典型的一阶ODE具有以下形式：
$$y'(t) = f(t, y(t)) $$
这个方程描述了变量 $y$ 随时间 $t$ 变化的速率。
然而，仅有这个方程不足以确定系统的具体行为，因为它有无穷多个可能的解。为了得到一个唯一的解，我们还需要一个初始状态，即初值条件 (Initial Condition)：
$$y(t_0) = y_0 $$
将ODE和初值条件结合在一起，就构成了一个初值问题 (Initial Value Problem, IVP)。我们的目标就是找到函数 $y(t)$，它在 $t \ge t_0$ 的区间上满足上述两个条件。
在尝试用数值方法求解之前，我们必须先确定一个问题是否有唯一的、行为良好的解。
Lipschitz连续性
在微积分中，计算定积分 $I(f) = \int_a^b f(x) dx$ 是一个核心问题。然而，许多函数的原函数无法用初等函数表示，或者函数本身只以离散数据点的形式给出。在这些情况下，我们必须依赖数值方法来近似计算定积分的值。
在探讨数值方法之前，我们先回顾几个关键的微积分定理。
第一积分中值定理：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得：
$$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a) $$
这个定理表明，积分值可以看作是函数在某一点的函数值与区间长度的乘积，这是所有数值积分方法的基本思想来源。
第二积分中值定理：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调，$\phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，那么至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得：
$$\int_a^b f(x)\phi(x) dx = f(a)\int_a^\xi \phi(x) dx + f(b)\int_\xi^b \phi(x) dx $
在科学计算和工程应用中，我们经常遇到一个问题：一个函数 $f(x)$ 可能形式复杂、计算成本高，或者我们只知道它在一系列离散点上的函数值。为了方便地分析和计算，我们希望找到一个更简单的函数 $P(x)$ 来近似替代 $f(x)$。
一个好的逼近函数 $P(x)$ 通常应满足以下条件：
在众多逼近函数中，多项式由于其良好的性质（易于计算、微分和积分，且根据魏尔斯特拉斯逼近定理，任何连续函数都可以用多项式一致逼近），成为最常用的插值函数。
定理：给定
与线性方程组不同，非线性方程 $f(x)=0$ 的求解通常没有直接的解析方法，因此必须依赖迭代数值技术。本章将介绍两种基础且重要的迭代方法：二分法和牛顿迭代法。
许多求解非线性方程 $f(x)=0$ 的迭代法，都可以归结为一种称为不动点迭代的一般形式。
不动点迭代法的思想是，首先将方程 $f(x)=0$ 转化为等价的形式：
$$x = g(x) $$
如果 $x^*$ 是这个方程的解，即 $x^* = g(x^*)$，那么我们称 $x^*$ 是函数 $g(x)$ 的一个不动点。
基于这个形式，我们可以构造一个简单的迭代序列：
$$x_{k+1} = g(x_k) $$
从一个初始猜测值 $x_0$ 开始，如果这个序列收敛，即 $\lim_{k \to \infty} x_k = x^*$，那么我们就找到了方程的一个解。
例如，求解 $f(x) =
Jacobi和Gauss-Seidel方法是求解线性方程组 $Ax=b$ 的经典迭代技术。其核心思想是将矩阵 $A$ 分解为 $A = M - N$，其中 $M$ 是一个容易求逆的矩阵。
由此，方程 $Ax=b$ 可以转化为 $(M-N)x=b$，进而得到迭代的一般形式：
$$Mx^{(k+1)} = Nx^{(k)} + b $$
$$x^{(k+1)} = M^{-1}Nx^{(k)} + M^{-1}b $$
记迭代矩阵 $B = M^{-1}N$，常数向量 $f = M^{-1}b$，则一般形式为：
$$x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + f $$
为了保证迭代过程能够顺利进行，必须满足以下基本条件：
在数值分析中，矩阵分解是解决线性方程组的重要方法。通过将复杂的矩阵分解为结构简单的矩阵乘积，我们可以更高效地求解线性方程组、计算矩阵的逆以及求解特征值问题。本文将详细介绍两种重要的矩阵分解方法：LU分解和Cholesky分解。
LU分解（LU Decomposition）是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L（Lower triangular matrix）和一个上三角矩阵U（Upper triangular matrix）的乘积。
对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，如果存在下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$，使得：
$$A = LU $$
其中：
$L$ 是下三角矩阵：$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &
Welcome to Hexo! This is your very first post. Check documentation for more info. If you get any problems when using Hexo, you can find the answer in troubleshooting or you can ask me on GitHub.