数值分析-2
2025-08-05 1.1k 字 5 分钟

数值分析-2

迭代法：Jacobi 与 Gauss-Seidel

1. 定义与一般形式

Jacobi和Gauss-Seidel方法是求解线性方程组 $Ax=b$ 的经典迭代技术。其核心思想是将矩阵 $A$ 分解为 $A = M - N$，其中 $M$ 是一个容易求逆的矩阵。

由此，方程 $Ax=b$ 可以转化为 $(M-N)x=b$，进而得到迭代的一般形式：

$$Mx^{(k+1)} = Nx^{(k)} + b $$

$$x^{(k+1)} = M^{-1}Nx^{(k)} + M^{-1}b $$

记迭代矩阵 $B = M^{-1}N$，常数向量 $f = M^{-1}b$，则一般形式为：

$$x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + f $$

2. 使用的先决条件

为了保证迭代过程能够顺利进行，必须满足以下基本条件：

  • 对角元素非零：对于矩阵 $A$ 的所有对角元素 $a_{ii}$，必须有 $a_{ii} \neq 0$。这是因为两种方法都需
数值分析(1)
2025-08-05 3k 字 14 分钟

数值分析(1)

矩阵分解：LU分解与Cholesky分解

引言

在数值分析中，矩阵分解是解决线性方程组的重要方法。通过将复杂的矩阵分解为结构简单的矩阵乘积，我们可以更高效地求解线性方程组、计算矩阵的逆以及求解特征值问题。本文将详细介绍两种重要的矩阵分解方法：LU分解和Cholesky分解。

1. LU分解

1.1 定义

LU分解（LU Decomposition）是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L（Lower triangular matrix）和一个上三角矩阵U（Upper triangular matrix）的乘积。

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，如果存在下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$，使得：

$$A = LU $$

其中：

  • $L$ 是下三角矩阵：$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots &

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2025-08-05 96 字 1 分钟

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