信号与系统中的三大变换简单介绍：Fourier, Laplace, Z 在信号处理、控制理论、通信和许多其他工程与科学领域，为了更方便地分析和处理信号与系统，我们常常需要将信号从其自然存在的时域转换到另一个数学上更易于操作的域——频域或复频域。傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是实现这种转换的最核心、最强大的数学工具。 傅里叶变换：处理稳定的连续时间信号，将其分解为不同频率的正弦波分量。 拉普拉

常微分方程初值问题 许多物理、工程和经济学中的动态系统都可以用常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 来描述。一个典型的一阶ODE具有以下形式： $$y'(t) = f(t, y(t)) $$这个方程描述了变量 $y$ 随时间 $t$ 变化的速率。 然而，仅有这个方程不足以确定系统的具体行为，因为它有无穷多个可能的解。为了得到

数值积分 在微积分中，计算定积分 $I(f) = \int_a^b f(x) dx$ 是一个核心问题。然而，许多函数的原函数无法用初等函数表示，或者函数本身只以离散数据点的形式给出。在这些情况下，我们必须依赖数值方法来近似计算定积分的值。 理论基石 在探讨数值方法之前，我们先回顾几个关键的微积分定理。 积分中值定理 第一积分中值定理：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上

函数插值与多项式逼近 在科学计算和工程应用中，我们经常遇到一个问题：一个函数 $f(x)$ 可能形式复杂、计算成本高，或者我们只知道它在一系列离散点上的函数值。为了方便地分析和计算，我们希望找到一个更简单的函数 $P(x)$ 来近似替代 $f(x)$。 什么是好的逼近？ 一个好的逼近函数 $P(x)$ 通常应满足以下条件： 易于计算：$P(x)$ 的形式应足够简单，例如多项式或分段多项式，使

非线性方程的数值解法 与线性方程组不同，非线性方程 $f(x)=0$ 的求解通常没有直接的解析方法，因此必须依赖迭代数值技术。本章将介绍两种基础且重要的迭代方法：二分法和牛顿迭代法。 不动点迭代与Banach不动点定理 许多求解非线性方程 $f(x)=0$ 的迭代法，都可以归结为一种称为不动点迭代的一般形式。 不动点迭代 不动点迭代法的思想是，首先将方程 $f(x)&#x

迭代法：Jacobi 与 Gauss-Seidel 定义与一般形式 Jacobi和Gauss-Seidel方法是求解线性方程组 $Ax=b$ 的经典迭代技术。其核心思想是将矩阵 $A$ 分解为 $A = M - N$，其中 $M$ 是一个容易求逆的矩阵。 由此，方程 $Ax=b$ 可以转化为 $(M-N)x=b$，进而得到迭代的一般形式： $$Mx^{(

矩阵分解：LU分解与Cholesky分解 引言 在数值分析中，矩阵分解是解决线性方程组的重要方法。通过将复杂的矩阵分解为结构简单的矩阵乘积，我们可以更高效地求解线性方程组、计算矩阵的逆以及求解特征值问题。本文将详细介绍两种重要的矩阵分解方法：LU分解和Cholesky分解。 LU分解 定义 LU分解（LU Decomposition）是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L（Lower tria

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